Современная математика делится на два основных лагеря, один из которых (англо-саксонская школа) считает, что математика - это язык, часть физики и только приветствует ее прикладной характер. Другая школа же, французская, является ярым апологетом математической "чистоты", абстрактности и неприложимости ни к чему. Человеку Традиции же могут быть интересны обе позиции, так как синкретичность традиционного мышления позволяет соединить несоединимое и получить наиболее яркую картину мира. Эта же синкретичность позволит нам спроецировать происходящее в математической области на многие другие стороны жизни.
Ярость французов доходит до того, что они исключают арифметику и геометрию из математики, так как числа и любые построения - суть частный момент приложения чистого знания. Получается, чистая математика воспринимает свои элементы как некие абстрактные понятия с разными функциями, состоящими в разных отношениях между собой, и допускает их воплощение в реальной жизни, однако каждое воплощение считает индивидуальным и частным. Есть в этом какие-то параллели с мифологическим мышлением, с формированием математического пантеона.
Единственное, чего не хватает, - это одушевленности этого французского формализма. Однако мы не французы и можем вдохнуть жизнь в математический пантеон.
Также ученые спорят, например, о том, что есть число ноль и что есть натуральные числа. В англо-саксонской системе есть числа положительные (больше нуля), отрицательные (меньше нуля) и ноль (равно нулю), поэтому ноль - это ноль, как ни удивительно. Французы же допускают лишь два типа отношений: больше или равно, меньше или равно. "Ноль больше или равен нуля, поэтому ноль - число положительное", - говорят любители лягушачьих лапок, хотя, надо отметить, что с тем же успехом в этой картине мира ноль мог бы стать отрицательным, ведь он также меньше или равен нуля, но, видимо, некие этические нормы предполагают, что преимущество отдается вещам положительным.
В англо-саксонской системе натуральные числа - это те, которые возникают при счете. Французы же, как уже было сказано, счет воспринимают как частный случай, поэтому такое определение натуральных чисел для них никак не годится. Натуральные числа в абстрактной математике, таким образом, - это мощности конечных множеств, то есть количество элементов в множестве.
Трудно сказать, кто из двух сторон побеждает в споре, а кто нет. Несмотря на кажущуюся бредовость французских идей, эти идеи явились реакцией на несовершенство существовавшей до них общепринятой концепции. Французская школа появилась после англо-саксонской и позиционирует себя как альтернативу устаревшей модели, новую парадигму, пришедшую на смену.
В недавно опубликованном списке самых гениальных людей планеты (правда, составленном непонятно кем и носящем, скорее, чисто формальный характер) на 9 месте стоит математик Перельман, стоящий на стороне французской школы, то есть математики чистой и абстрактной. Однако это не мешает математике повсеместно использоваться в качестве приложения и сподручного средства для научных поисков, даже если используемая теорема не доказана.
А таких недоказанных, но используемых теорем, больше, чем достаточно. Вернемся к числам: если мы произвольно ткнем в числовую прямую, то наибольшая вероятность попадания будет в число трансцендентное. В 1844 году математик Лиувилль доказал, что существуют "трансцендентные числа", то есть такие, которые являются вещественными (присутствуют на числовой прямой), но не являются алгебраическими (то есть корнями многочленов с рациональными коэффициентами - самым известным примером такого многочлена служит квадратное уравнение ax2+bx+c=0).
В 1873 Эрмит доказал трансцендентность числа е, а в 1882 году Линдеман числа и. В 1934 году Гельфонд доказал, что трансцендентных чисел очень много, например, все числа а в степени b , где а и b - числа алгебраические, и при этом b - иррациональное, будут трансцендентными. Получается, что известная широкому кругу людей математика занимается больше исключениями, нежели всем массивом чисел, так как натуральные, целые, вещественные, алгебраические числа, два (обнаруженных из бесконечного множества) трансцендентные числа е и и - удачно найденные, удобные числа, в остальные же владения Числобога люди редко заглядывают.
В 1931 году Курт Гедель совершил один из подрывов "классической" математики. Он доказал теорему о неполноте, одним из следствием которой является утверждение (заметьте, научно доказанное), что в любой достаточно богатой и непротиворечивой системе теорий, (добавлю: идей, идеологий, концепций, верований...) всегда будут высказывания, которые истинны, но их истинность недоказуема. А если нам кажется, что истинность всех высказываний доказана, значит - построенная нами система противоречива и неистинна.
Получается, для существования истинной системы идей, необходимо, чтобы внутри нее была недоказуемая теория.
То есть Истина - это нечто больше, чем сумма истинных элементов, Истина - синкретична. Практика показывает то же самое: наука пользуется математическими построениями, даже если в основе их лежит недоказанная теорема, и они работают. Правда, все относительно, цитируют Эйнштейна, хоть и доказанная им теория этого не говорила.
Есть в математике и строго действующие законы, даже если их действие кажется странным для обыденного мышления. Например, теорема Гудстейна. Смысл ее в том, что если у нас есть степенной ряд с одним основанием, и мы будем циклически производить над ним алгоритм из двух простых действий: 1. прибавлять к степенному основанию единицу, 2. и вычитать из общей суммы единицу, то в итоге этот ряд сведется к нулю.
Это кажется странным, потому что увеличение основания степени увеличивает число гораздо больше и мощнее, нежели простое вычитание. Однако сама степень не меняется, и постоянное вычитание единицы "подмывает" степенные числа. Чтобы из них вычесть единицу, приходится их "разменивать", что тихой сапой подрывает абсолютное значение суммы. Мне кажется, фольклорной иллюстрацией этой теоремы является сказка о рыбаке и золотой рыбке.
Стань ты хоть царицей, а если будешь уменьшать доверие к себе и общее морально-нравственное достоинство, то в итоге окажешься у разбитого корыта. Сказка, в свою очередь, как говорил о сказках Пропп, заключает в себе представление о нравственном Законе, который действует в Мире, и, который воспринимался детьми и отроками именно через сказки ("добрым молодцам урок") в традиционном обществе. Получается, математика в какой-то степени оперирует понятиями Истины и, при внимательности изучающего, транслирует представления об объективном нравственном Законе мирозданья. Главное, чтобы был дух, ведь, как пишет В. С. Доценко о французской математической школе, "хорошо известно, что получается, если из учения, веры или науки уходит дух, а остаётся один формальный ритуал: получается маразм".
Другие статьи: