Может ли сечение параллелепипеда плоскостью иметь форму правильного пятиугольника?
Попытки ответить на этот вопрос на основании вычислений отношения стороны сечения и диагонали даже в частном случае (основание-квадрат) не всем учащимся доступны. В общем виде даже хорошие учащиеся затрудняются выполнить надлежащие выкладки.
Между тем никакие выкладки не требуются. Особенностью параллелепипеда является параллельность его противоположных граней. Чтобы в сечении получился пятиугольник, плоскость должна пересекать пять граней параллелепипеда. Среди этих граней наверняка найдутся две пары параллельных граней.
Следовательно, в полученном сечении две пары сторон соответственно параллельны. Однако в правильном пятиугольнике никакие две стороны не параллельны.
Следовательно, рассматриваемое сечение не может быть правильным пятиугольником.
Лестница установлена так, что верхний конец ее упирается в стену здания на одной стороне улицы на высоте 9 метров, а на другой стороне - на высоте 12 м, причем оба положения лестницы взаимно перпендикулярны, а низ ее неподвижен. Определить длину лестницы и ширину улицы.
Получается либо система уравнений второй степени с тремя неизвестными, либо иррациональное уравнение.
Легко убедиться, что в обоих случаях объем вычислений велик.
Анализ конфигурации приводит к иному пути решения. Треугольники АСО и BOD прямоугольные, их гипотенузы равны (по условию). Учитывая перпендикулярность гипотенуз, можно показать, что углы АСО и BOD равны (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Следовательно, треугольники равны. Поэтому AO=BD и ВО=АС, т. е. ширина улицы 21м, а длина лестницы определяется по теореме Пифагора (15м).
3) Развертка пирамиды представляет собой квадрат со стороной а. Определить объем пирамиды.
4) Искомая пирамида не может быть четырехугольной, так как в этом случае все плоские углы при ее вершине оказались бы прямыми, то есть сумма была бы равна 360°, что невозможно. В таком случае пирамида треугольная.
Такое обучение рациональным методам нужно осуществлять на протяжение всего курса. Демонстрируя преимущество рациональных методов решения, учитель вместе с тем показывает пути, ведущие к нахождению такого решения.
Вместе с тем учащихся знакомят с некоторыми вспомогательными приемами решения задач. Если элементы фигуры разъединены, их часто сближают путем геометрических преобразований. В ряде случаев целесообразно решить задачу в общем виде, а лишь затем подставить числовые значения параметров. Во многих случаях задачу удобно решать с помощью вспомогательных отрезков или углов: сперва находится искомая величина, а затем устанавливается связь между вспомогательными величинами и данными условия и исключают эти вспомогательные величины. Особенно часто это имеет место при решении стереометрических задач с применением тригонометрии. Неверно было бы думать, что отыскание рациональных путей решения задач посильно только лучшим учащимся. Красоту решения оценивают все учащиеся. Если систематически показывать учащимся, что отыскание рациональных решений посильно всем тем, кто усвоил учебный материал, то постепенно большинство из них приобретает навык выбора лучших путей выполнения поставленных заданий.
Но преподаватель должен позаботиться о том, чтобы среди предлагаемых задач были такие, на которых удобно показывать наличие решения различной трудности.
Решение задач рациональными путями имеет огромное воспитательное значение. Рациональные решения требуют меньшей затраты времени, простота решения позволяет не делать ошибок, имеющих место в случае сложных и утомительных выкладок. Наконец, в будущей трудовой деятельности учащихся неоднократно придется иметь дело с проблемами наилучшего использования имеющихся ресурсов, наилучшей расстановки людей и механизмов, рационального раскроя материалов.
Другие статьи: