Синергия 3 семестр Практикум. Финансовая математика — часть 1

Тема 1. Введение в финансовую математику

ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ

 Задача 1.1. (таблица 1) Сумма в Р тыс.руб. помещена в банк на депозит (хранение под проценты) на n лет под i % годовых. Найти проценты и сумму в конце срока, если простые проценты начисляются:

- в конце каждого года;

- в конце каждого квартала.

Задача 1.2. Ссуда в размере Р млн.руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно под m% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов?

Задача 1.3. Вкладчик положил в банк Р тыс.руб. на n лет под i % годовых. Согласно контракту, банк имеет возможность изменить процентную ставку в зависимости от ставки рефинансирования Банка России. Поэтому через m лет с момента открытия вклада банк изменил процентную ставку на k %. Какую сумму получит вкладчик при начислении простых процентов?

Задача 1.4. Движение средств на счете характеризуется следующими данными: 05.02 поступило Р млн.руб., 10.07 снято  млн.руб. и 20.10 поступило  млн.руб. Найти сумму на счете на конец года, если простая процентная ставка k% годовых.

Задача 1.5. 2Р тыс.руб. положены 1-го марта на месячный депозит под 3m% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется k раз (для простых процентов)?

Тема 2. Простые проценты

Задача 1.6. (таблица 2) Какую сумму следует поместить на n лет под i % годовых для накопления суммы P тыс.руб.? Провести расчеты по схеме простых процентов.

Задача 1.7.  Клиент обратился в банк за кредитом в P тыс.руб. под залог акций сроком на n месяцев. Определить сумму, которую он получит, если банк предлагает простую годовую учетную ставку в m %.

Задача 1.8. Два платежа Р и 0,5Р млн.руб. со сроками уплаты соответственно 10n и 50m дней объединяются в один со сроком 20k дней. Определить консолидированную сумму долга при простой ставке, равной (i+5)%.

Задача 1.9. Имеется обязательство уплатить Р млн.руб. через n месяцев и (Р+7) млн.руб. через m месяцев после некоторой даты. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через k и (k+6) месяцев. Изменение условий осуществляется с использованием простой ставки равной (i+7)% (К = 360).

Тема 3. Сложные проценты срок

Задача 2.10. (таблица 3) Пусть первоначальная сумма вклада P тыс.руб., срок вклада n лет; процентная ставка i %. Определить размеры налога на проценты при начислении сложных процентов при ставке налога m %.

Таблица 3

Задача 2.11. В банк положили сумму P тыс.руб. на n лет. Найти сумму вклада и процентные деньги при начислении сложных процентов со ставкой i % годовых. Найти наращенную сумму с учетом темпа инфляции k % в год

Задача 2.12. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина 5Р тыс.руб., проценты сложные, ставка m% годовых, начисление поквартальное?

Задача 2.13. За какой срок в годах сумма равная  млн.руб., достигнет Р млн.руб. при начислении процентов по сложной ставке m% раз в году и поквартально?

Тема 4. Потоки платежей

Задача 3.1. (таблица) Допустим, что проект будет ежегодно в течение n лет давать доход по P тыс.руб. Доход помещают на счет под i% годовых.

1) Найти сумму на счете при начислении сложных процентов постнумерандо и пренумерандо.

2) Найти сумму на счете процентов постнумерандо, если в начале срока ренты на счет единовременно внесена сумма 10 тыс.руб.

Таблица

Задача 3.2. Вкладчик в конце каждого месяца помещает в банк m тыс.руб. Проценты начисляются ежемесячно по годовой ставке сложных процентов, равной i%. Определить наращенную сумму на счете вкладчика через n лет.

Задача 3.3.  Допустим, что проект будет ежегодно в течение n лет приносить доход по P тыс.руб. Найти современную стоимость будущих доходов при ставке приведения i % .

Задача 3.4.  Вкладчик намерен положить в банк сумму, чтобы его сын в течение пятилетнего срока обучения мог снимать в конце каждого года по m тыс.руб. и к концу учебы остаток вклада составил k тыс.руб.

Определить сумму вклада, если годовая ставка сложных процентов равна i%.

Задача 3.5.  За n лет необходимо накопить сумму Р тыс.руб. Определить величину ежемесячного платежа при условии, что проценты начисляются в конце каждого месяца по сложной ставке в m% годовых.

Задача 3.6. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит Р тыс.руб. Кредит выдан под i% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

Задача 3.7. Сколько необходимо откладывать ежемесячно (ежеквартально), чтобы через k лет накопить сумму 2Р тыс.руб., если в 1-й год ставка сложных процентов равна i%, а затем ежегодно увеличивается на 0,k%.

Тема 5. Кредиты

Задача 4.1. (таблица) Банк предоставил клиенту кредит Р тыс.руб. сроком на n лет под i% процентов годовых с погашением в конце каждого года. Определить размер ежегодного платежа. Определить ежегодные выплаты основного долга и по процентам.

Таблица

Задача 4.2. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.03.2020 по 12.09.2021 г.) долг в сумме 2Р млн.руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Простые и сложные проценты начисляются по ставке m% годовых. Частичные поступления характеризуются следующими данными (в тыс.руб.):

12.06.2020 г. - 5;

12.06.2021 г. - 15;

30.06.2021 г. - 20;

12.09.2021 г. - ?

Задача 4.3. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный P тыс.руб., вырос до (P+20) тыс.руб. при условии, что начисляются простые и сложные проценты по ставке (i+1)% годовых?

Тема 6. Инвестиционные проекты

Задача 5.1. (таблица 5) Допустим, что проект рассчитан на n лет и требует инвестиции в I₀=10 млн. руб. В конце 1-го года доход составит R1 млн.руб., а в конце 2-го года – R2  млн.руб.

Найти чистый приведенный доход при ставке дисконтирования в i% годовых. Рассчитать внутреннюю ставку дохода, а также простой (PBP) дисконтированный срок окупаемости (DPBP).

Задача 5.2. Предприниматель решил взять кредит в 5Р тыс.руб. Выбрать наилучшую (для предпринимателя и банка) программу кредитования, исходя из условий:

- срок кредита: 5-10 лет;

- выплаты: ежемесячно, ежеквартально или ежегодно, причём могут осуществляться как в начале, так и в конце периода;

- сложная процентная ставка: i% первую половину срока кредита и k% - вторую.

Таблица

Тема 7. Финансовые риски

Задание 1. (таблица) По матрице доходов Q составить матрицу рисков R.

Задание 2. По матрице доходов Q выбрать лучшую стратегию по критерию Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при  и ).

Задание 3. Дополняя Q вектором вероятностей Р (исходя из равной вероятности наступления событий), найти эффективность и волатильность каждой стратегии.

Задание 4. Выбрать лучшую по Парето стратегию.

Дана матрица А (k – номер по списку):
для чётных номеров

Тема 8. Анализ портфеля

1. Портфель состоит из акций 4 видов, данные о которых представлены в таблице. Найти доходность портфеля.

2. Портфель состоит из акций 4 видов, данные о которых представлены в таблице. Найти доходность портфеля с помощью вычисления доходности каждой бумаги.

3. Доли ценных бумаг в портфеле, состоящем из 3 бумаг, равны х1=0,2, х2=0,3, х3=0,5. Матрица ковариаций равна . Найдите риск портфеля.

4. Портфель состоит из 3 активов А, В и С, взятых в равных ценовых долях. Ожидаемые доходности активов равны μ1=-15%, μ2=18%, μ3=23%. Найдите ожидаемую доходность портфеля.

5. Даны 5 видов акций, ожидаемая доходность и риск которых приведены в таблице. Выстроите акции в порядке предпочтения.

6. Портфель состоит из 3 бумаг А, В и С. Ценовая доля бумаги А равна 0,4, а ценовая доля бумаги В в 1,46 раза больше ценовой доли бумаги С. Найдите портфель.

7. Дана ковариационная матрица

Найдите корреляционную матрицу.

8. Данные о распределении доходностей 2 бумаг приведены в таблице. Найдите ковариацию и коэффициент корреляции этих бумаг

9. Доли ценных бумаг в портфеле равны х1=0,2, х2=0,3, х3=0,5, ожидаемые доходности μ1=-15%, μ2=18%, μ3=23%, ковариационная матрица имеет вид Найдите ожидаемую доходность и риск портфеля.

10. Портфель состоит из 2 бумаг А и В, ожидаемая доходность и риск которых, выраженные в процентах, равны А(14, 25) В(45, 60). Коэффициент корреляции равен 1. Найдите: а) портфель минимального риска; б) портфель максимальной доходности.
11. Портфель состоит из 2 бумаг А и В, ожидаемая доходность и риск которых, выраженные в процентах, равны А(15, 25) В(20, 88). Коэффициент корреляции равен 1. Риск портфеля составляет 75%. Найдите портфель и его доходность.
12. Портфель состоит из 2 бумаг А и В, ожидаемая доходность и риск которых, выраженные в процентах, равны А(12, 18) В(20, 47). Коэффициент корреляции равен -1. Найдите: а) доходность портфеля минимального риска; б) риск портфеля максимальной доходности. Изобразите график допустимого множества портфелей.
13. Портфель состоит из 2 бумаг А и В, ожидаемая доходность и риск которых, выраженные в процентах, равны А(20, 24) В(41, 36). Коэффициент корреляции равен -1. Доходность портфеля составляет 32%. Найдите портфель и его риск.
14. Портфель состоит из 2 бумаг А и В, ожидаемая доходность и риск которых, выраженные в процентах, равны А(50, 20) В(80, 60). Коэффициент корреляции равен 0. Найдите портфель минимального риска и его доходность.
15.  Портфель минимального риска из 2 независимых бумаг (0,43; 0,23), (0,67; х) (первая цифра в скобках = доходность, вторая = риск) имеет вид (0,5; 0,5). Каковы риск второй бумаги, доходность и риск портфеля
16. Портфель состоит из 2 бумаг А и В, ожидаемая доходность и риск которых, выраженные в процентах, равны А(20, 60) В(13, 45). Коэффициент корреляции равен -0,25. Найдите портфель минимального риска, его риск и доходность.

Заказ № H-15154