УДК 519.87

 

Шевцова Мария Витальевна

к.ф.-м.н., доцент кафедры математики

Белгородский государственный университет

Белгород

Shevtsova Maria Vitalievna

Belgorod University

 

Алехин Иван Алексеевич

студент

Белгородский государственный университет

Белгород

Alyokhin Ivan Alekseevich

Belgorod University

«Решение уравнений третьей степени»

Solving equations of the third degree

Аннотация: данная статья направлена на изучение разных способов решения уравнений третьей степени. Выводы, заключённые практической части позволяют рассмотреть способы решения и применение их на практике.

Abstract: this article is aimed at studying different ways of solving equations of the third degree. The conclusions of the practical part allow us to consider ways of solving and applying them in practice.

Ключевые слова: уравнение третьей степени, решение, кубическое уравнение.

Keywords: equation of the third degree, solution, cubic equation.

Актуальность исследования заключается в том, что студентам, изучающим высшую математику, в том числе алгебру, часто приходится сталкиваться с уравнениями степени 3, в связи с этим нам следует знать методы решения подобных уравнений. Целью исследования является изучение методов решения уравнений третьей степени.

Кубическим уравнением или уравнением третьей степени называется уравнение вида , где ax^3+px^2+qx+r=0, где p, q, r– некоторые числа, a не равно .

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень . Значит всегда выполнено ax^3+px^2+qx+r=a(x-x_1)( x^2+mx+n), где m и n – некоторые числа. Кубические уравнения вида x^3=a  для любого числа  имеют единственный корень x=∛a.

Если коэффициенты p,q,r — целые числа, то целые корни уравнения ищутся среди делителей свободного коэффициента  . Когда один из корней  найден, то многочлен, стоящий в левой части уравнения, необходимо поделить на двучлен x-x_1. [2]

Число , обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Существуют следующие методы решения уравнений третьей степени:

1) Разложение на множители. 

Используя такой способ, необходимо разбить многочлен на два составляющих многочлена (на две группы). Разложить многочлен на две группы и работайте с каждой из них отдельно.

Затем найти общий множитель в каждой группе.

Вынести общие множители за скобки (упрощение).

Если в упрощенных группах есть один и тот же многочлен, то можно сложить общие знаменатели и умножить на такой многочлен.

Найдём решение каждого из полученных двучлена (множителя).

2) Теорема Безу

«Данная теорема сформулирована следующим образом: Число c∈P является корнем многочлена f(x)  из P[x] тогда и только тогда, когда многочлен делится нацело на (x-3) [1, c.19]

Для начала находим все делители свободного члена.

Находим из представленных делителей тот, который является корнем уравнения методом подбора.

Поделим исходный многочлен на выражение (x-x1) в столбик для того, чтобы разбить выражение на множители.

3) Схема Горнера  

Находим все делители свободного члена. Находим из представленных делителей тот , который является корнем c уравнения методом подбора. Затем делим исходный многочлен на линейный многочлен (x-c), используя схему Горнера.   

Пусть (x)= a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + ...+ a_(n-1) x + a_n, g(x) = x - c. Если разделить f(x) на g (x) с остатком, то в данном случае степень остатка  равна нулю. То есть выполняется равенство ,. f(x) = (x - c)(b^0 x^(n-1)+ b_1 x^(n-2) + ...+ b_(n-1)) + r, r ∈ P. [1, C.16]

Найдем правило для вычисления остатка  и коэффициентов  , , ,...,. Для этого сравним коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства (1):

Таб.1. Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях.
x^n a_0=b_0
x^(n-1) a_1=b_1-cb_0
x^(n-2) a_2=b_2-cb_1
… ... = ...
x a_(n-1)=b_(n-1)-cb_(n-2)
x^0 a_n= r-cb_(n-1)

Отсюда получаем правило вычисления коэффициентов частного и остатка. Вычисления удобно заносить в таблицу (схема Горнера):

Таб.2. Вычисления в схеме Горнера. [1, C.16] a_0 a_1 … a_(n-1) a_n
c b_0=a_0 b_1-cb_0+a_1 … b_(n-1)=cb_(n-2)+a_(n-1) r= cb_(n-1)+a_n

Теперь перейдём к практической части и решим два типовых примера.

Задача 1. Найти корни уравнения третьей степени x^3+2x^2-4x-8=0; [3]

Решение.

Данное уравнение удобно решать методом разложения на множители.

Для этого разобьём многочлен на два составляющих многочлена: 〖(x〗^3+2x^2)-(4x+8)=0.

Найдём общий множитель в каждой группе. Для первой это будет , а для второй – 4.

Вынесем эти множители за скобки: для 〖(x〗^3+2x^2) результатом будет – x^2 (x+2) , а для (4x+8) – 4(x+2). Итого, по результатам наших преобразований мы получаем следующее уравнение: x^2 (x+2)-4(x+2)=0..

Также мы видим, что в упрощённом нами уравнении есть ещё один общий для двух членов элемент – (x+2) . Вынесем его за скобки. Получим: (x+2)(x^2-4)=0 .

Вслед за этим нам стоит разбить полученный на множители настолько, насколько это возможно. В данном случае мы можем разбить на множители элемент (x^2-4)=(x-2)(x+2). Имеем такое равенство: (x+2)(x-2)(x+2)=0 .

Нельзя обойти стороной тот факт, что в уравнении присутствуют два одинаковых множителя, а именно (x+2). . Мы можем записать уравнение так: (x-2) 〖(x+2)〗^2=0. .

Теперь найдём решение каждого из полученных двучлена (множителя): x_1=2; x_2=-2.; .

Задача 4. Найти корни уравнения третьей степени 〖2x〗^3-x^2-5x+4=0; [3]

Решение.

И, наконец, продемонстрируем на практике решение уравнений третьей степени по схеме Горнера.

В первую очередь определим, что свободный член равен с=4 и для него найдём делители. Делителями свободного члена являются числа 1, -1, 2, -2, 4, -4.

Находим тот делитель, который является корнем уравнения, сделаем это методом подбора. Выясняем, что это x=1 . Теперь поделим исходный многочлен на многочлен (x-c) , используя схему Горнера.

Таб.3. Деление многочлена по схеме Горнера

*	2	-1	-5	4
1	2	1	-4	0

В итоге получаем следующее уравнение:
(x-1)(2x^2+x-4)
Как мы видим, многочлен (x-1)(2x^2+x-4) можно разбить ещё раз на множители.

Разобьём на множители многочлен (2x^2+x-4).

Дискриминант его равен D=b^2-4ac=1-4*2*(-4)=33.
x_1=-1/4-√33/4
<x=(-b∓√D)/2a=(-1∓√33)/4> Отсюда ;<x_1=-1/4-√33/4 x_2=-1/4+√33/4>

Ответ: x_1=1, x_2=-1/4-√33/4, x_3=-1/4+√33/4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В научной статье были рассмотрены уравнения третьей степени. Целью нашей статьи являлось изучение различных методов решения кубических уравнений. Для её достижения мы решили стоявшие перед нами задачи: мы ввели понятие уравнений третьей степени; изучили различные методы их решения и применили полученные знания на практике в виде решения задач по теме.

Мы рассмотрели такие некоторые из методов решения кубических уравнений, такие как разложение многочлена на множители, теорема Безу и метод разложения по схеме Горнера.

Список использованной литературы

1. Алгебра многочленов: учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений / Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, М.В. Шевцова. – Белгород: ИД «Белгород», 2014. – 100 с.
2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — 608 с.
3. Сборник задач по алгебре. Часть 1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. В помощь учащимся 10–11-х классов/ О.В. Нагорнов, А.В. Баскаков, О. Б. Баскакова, С.А. Гришин, А.Б. Костин, Р.Р. Резванов, Д.С. Теляковский. – М.: НИЯУ МИФИ, 2009. – 156 с.